变分法理论及其应用研究系列报告

报告题目（一）具有临界指数的二阶椭圆型方程

主 讲 人：韩丕功教授（中国科学院数学与系统科学研究院学）

报告时间：12月3日下午2:00-3:30

报告地点：腾讯会议 ID： 333 780 041

主办单位：威廉希尔中文网站

报告摘要：

在研究Brezis-Nirenberg问题时，由于弱解所在的Sobolev空间到可积临界指标空间的嵌入映射是非紧的，使得相应能量泛函的Palais-Smale序列不满足(P.S)紧性条件，导致存在性问题变得异常复杂。克服这种“失紧”困难的经典方法源于 H. Brezis 和 L.Nirenberg 的著名工作(CPAM, 1983). 在这篇文献中，作者给出了使Palais-Smale序列满足紧性条件的最低能量门槛，从而保证能量泛函存在非零临界点。通过最佳Sobolev常数的达到函数并选取适当的检验函数，可以证明: 极小极大原理定义的能量值确实严格小于最低能量门槛，从而由极小极大原理产生的Palais-Smale序列满足紧性条件。 此后近四十年来，基于这种紧性分析的思想，在临界增长的椭圆问题方面，包括 Dirichlet 边界条件，Neumann 边界条件和混合边界条件，出现了许多精彩的结果。

报告题目（二）二阶临界椭圆方程的无穷多解

主 讲 人：韩丕功教授（中国科学院数学与系统科学研究院学）

报告时间：12月3日下午3:40-5:10

报告地点：腾讯会议 ID： 333 780 041

主办单位：威廉希尔中文网站

报告摘要：

本报告主要介绍带有临界增长指数的二阶椭圆方程的齐次边值问题，Brezis-Nirenberg问题的无穷多解存在性. 这类问题的主要困难在于:由于研究的方程具有临界增长，对应的能量泛函不满足Palais-Smale紧性条件，标准的临界点理论如: 亏格理论, 喷泉定理及其对偶定理不再适用。基本想法是首先对临界问题进行扰动，得到次临界增长的方程, 利用标准的临界点理论, 可以获得无穷多个正能量近似解； 利用这些近似解可以构造出原问题相应Palais-Smale 序列，然后在该Palais-Smale 序列中的每个集中点附近建立局部的Pohozaev恒等式。

主讲人简介

韩丕功，研究员，博士生导师，2004年7月毕业于中科院数学与系统科学研究院并留院工作至今，现为中科院数学与系统科学研究院研究员。目前主要从事非线性偏微分方程和流体力学问题的研究，特别是利用Fourier分析和半群理论研究不可压缩Navier-Stokes方程解的大时间行为。在半空间情形下，建立了Navier-Stokes方程的解在端点空间范数意义下的大时间渐近行为，这是一个长期的十分困难的问题；在外区域情形下，当净外力在边界上可以不为零的情况下，给出了不可压缩Navier-Stokes方程解的大时间衰减速率，极大地改进了已有的结果。研究成果入选了2017年度《中国科学院年鉴》科学出版社出版专著三部。到目前为止，已主持多项国家自然科学基金面上项目，以主要成员参与国家自然科学基金重点项目。已经在国际知名期刊Adv. Math；ARMA；CMP；JFA； JDE； Calc.Var等发表多篇学术论文。